Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1:
Soient E un ensemble et $ f:E \rightarrow E $ une application telle que $ f \circ f \circ f=f $. Montrer que f injective $ \Leftrightarrow $ f surjective.
Exercice 2:
On pose $ E _ p = \{ f \in C^p ( \mathbb{R,C}), \forall x \in \mathbb{R} \ \ f(x + 2 \pi) = f(x) \} $ et $ \| \cdot \| $ la norme 2 (quadratique) des fonctions continues $ 2 \pi-périodiques $.
$\forall f \in E_2$, on pose $\tilde f : x \rightarrow \int\limits_{0}^ \pi \, \frac {2f(x) - f(x+t) - f(x-t)}{t^2} \mathrm dt$.
1) Montrer que $ \tilde f \in E_0$.
2) Exprimer $c_n ( \tilde f )$ en fonction de $c_n (f)$ et de $\alpha _n = \int\limits_{0}^ \pi \, \frac {1-\cos(nt)}{t^2} \mathrm dt$.
3) Montrer que $ \frac {\alpha_n}{n}$ converge vers une valeur strictement positive.
4) Montrer que $ \exists C > 0$ tel que $\| \tilde f \| ≤ C \cdot \| f' \|$.
5) Une dernière question non traitée...
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pour l'exercice 2, question 1), poser pour $x$ fixé $ \phi : t \rightarrow 2f(x) - f(x+t) - f(x-t) $, puis utiliser l'inégalité de Taylor Lagrange avec cette fonction pour la majoration de $ \frac {\phi(t)}{t^2}$.
Pour l'exercice 2, question 3) utiliser un changement de variable.
Commentaires divers
Examinateur très agréable, qui fait passer à la question suivante dès que le raisonnement est énoncé, et qu'il ne manque plus qu'à le rédiger.
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