Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

• I- (sur 8 points) Exercice 28 d'analyse de la banque CCP :

Calculez le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes :
a- $\sum n^{\alpha} \, z^n$ ($\alpha \in \mathbb{R}$).
b-$\sum \cos \left ( \frac{2n \pi}{3} \right ) \: x^n$.

• II- (sur 12 points)

Soit $M = \: \pmatrix{0&a_1&a_2&\cdots&a_n\cr
 a_1&0&\cdots&\cdots&0\cr a_2&0& & &0\cr
\vdots&\vdots& & &\vdots\cr a_n&0&\cdots&\cdots&0\cr} \in M_{n+1}(\mathbb{R})$
avec les $a_i$ réels tous non nuls.
a- Trouver le rang de $M$. Trouver ensuite les valeurs propres et sous-espaces propres de $M$.
b- Si $f$ est l'endomorphisme de $\mathbb{R}^{n+1}$ canoniquement associé à $M$, déterminer la matrice
dans la base canonique de la projection orthogonale sur $\Im (f)$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
N.C.
Commentaires divers
N.C.