Énoncé(s) donné(s)
I- (sur 8 points) Exercice 8 d'algèbre de la banque :
On note $M_n(\mathbb{C})$ l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients complexes. Pour $A = \: (a_{i, j})_{1 \leq i,j \leq n} \in M_n(\mathbb{C})$, on pose : $||A|| = \: \sup \{ |a_{i,j}|, \; 1 \leq i,j \leq n \}$.
a- Démontrez que $||AB|| \leq \: n ||A|| \, ||B||$, puis que, pour tout entier $p \geq 1$, $||A^p|| \leq \: n^{p-1} \, ||A||^p$. b- Démontrez que, pour toute matrice $A \in M_n(\mathbb{C})$, la série $\sum \frac{A^p}{p !}$ est absolument convergente. Est-elle convergente ?
II- (sur 12 points)
On pose $F(x) = \: \sum_{n=0}^{+ \infty} (\sin^4 (nx))/n!$ pour $x \in \mathbb{R}$. a- Etudier la convergence de cette série (simple, uniforme). b- Montrer que $F$ possède une série de Fourier que l'on calculera.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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