Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)
I- (sur 8 points) Exercice 5 d'algèbre de la banque :
Soit $E$ l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ (= $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) de degré inférieur ou égal à $n$ et $f$ l'endomorphisme de $E$ défini par : $f (P) = P - P'$.

1- Démontrez que $f$ est bijectif de deux manières :
(a) sans utiliser de matrice de $f$,
(b) en utilisant une matrice de $f$.

2- Soit $Q \in E$. Trouvez $P$ tel que $f (P) = Q$.
Indication : si $P \in E$, quel est le polynôme $P^{(n+1)}$ ?

II- (sur 12 points)
Soit $x \in \mathbb{R}$ et $a>0$ ; on pose $S(x) = \: \sum_{n=1}^{+ \infty} x^n / \left ( 1 + \, \frac{1}{2^a} + \cdots + \, \frac{1}{n^a} \right )$.
a- Rayon de convergence de cette série entière ?
b- Etudier la convergence en $x=1$ puis $x=-1$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
N.C.
Commentaires divers
N.C.