Énoncé(s) donné(s)
I- (sur 8 points) Exercice 25 d'algèbre de la banque :
Soit $A = \pmatrix{0& 0& 1\cr 1& 0& 0\cr 0& 1& 0\cr} \in M_3(\mathbb{C})$. a- Déterminez les valeurs propres et les vecteurs propres de $A$. $A$ est-elle diagonalisable ? b- Soit $(a, b, c) \in \mathbb{C}^{3}$ et $B = a I_3 + b A + c A^2$, où $I_3$ désigne la matrice identité d'ordre 3. Déduisez de la question (a) les éléments propres de $B$.
II- (sur 12 points) a- Déterminer les extremums de la fonction $f \: : \: (x,y) \longmapsto \sin x \, \sin y \, \cos (x+y)$ sur le domaine $\Delta = \: \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2, \; x \geq 0, \; y \geq 0 \mbox{ et } x+y \leq \pi /2 \}$. b- Soit $(x,y,z) \in (\mathbb{R})^{+3}$ tel que $x+y+z \leq \pi /2$. Montrer que $\sin x \, \sin y \, \sin z \leq \: 1/8$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
N.C. Commentaires divers
N.C.
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