Énoncé(s) donné(s) Exercice 1 : Soit $L:P\in\mathbb{R}[X]\mapsto (X^2+1)P''+3XP'$. On munit de plus $\mathbb{R}$ du produit scalaire :
<P,Q>=$\int_{-1}^1P(x)Q(x)\sqrt{1-x^2}dx$.
1/ Montrer que $L$ est un endomorphisme symétrique.
2/ Prouver qu'il existe une base orthonormée de vecteurs propres de $L$.
3/ Prouver : $\forall n\geq1, \exists!T_n\in\mathbb{R}[X], \forall\theta\in]0,\pi[, T_n(\cos(\theta))=\dfrac{\sin((n+1)\theta)}{\sin(\theta)}$.
4/ Montrer que $(T_n)$ est une base orthonormée de vecteurs propres de $L$.
Exercice 2 : Quelle est la nature de la série de terme général $u_n=\arccos\left(\sqrt{1-\dfrac{1}{n^3}}\right)$ ?
Question subsidiaire : Existe-t-il des séries de termes généraux $u_n$ et $v_n$ telles que $u_n\sim v_n$, $\sum u_n$ diverge et $\sum v_n$ converge ? Si oui, donner un exemple.
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