Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)
On se donne une suite de réels strictement positifs $(a_k)_{k\in N}$ avec $a_1>a_0$. Pour tout $n\in N^*$ on note $ P_n(X)=\sum_{k=1}^na_kX^k-a_0$.

1. Calculer $P'_n(X)$. Montrer que, $\forall t>0$, $P'_n(t)>0$. En déduire l'existence d'un unique réel positif $\lambda_n$ tel que $P(\lambda_n)=0$.
   Montrer que $P_{n+1}(\lambda_n)\geq 0$ et en déduire que le suite $(\lambda_n)$ est monotone puis convergente. On note $\lambda $ sa limite.
2. Montrer que $0\leq \lambda \leq \frac{a_0}{a_1}$.
3. On prend maintenant pour tout $k$, $a_k=k+1$. Montrer que $(n+1)\lambda_n^{n+2}-(n+2)\lambda_n^{n+1}=(1-\lambda_n)^2 +\textrm{constante} \quad(?)$
   (On pourra exprimer $P_n(X)$ en fonction de la dérivée de $\sum_{k=0}^nX^k$).
   En déduire la valeur de $\lambda$..

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
N.C.
Commentaires divers
Une question dont l'énoncé est incomplet...