Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

On note $\mathcal E_n$ l'ensemble des matrices symétriques à coefficients strictement positifs.
 1. a) Faire un programme qui prend en argument un entier $n$ et renvoie une matrice de $\mathcal E_n$ avec des coefficients tirés aléatoirement.
    b) Déterminer à l'aide de $\tt Python$ les valeurs propres de différentes matrices de $\mathcal E_n$.
        Une matrice de $\mathcal E_n$ peut-elle avoir une valeur propre strictement négative ?
        Toutes les valeurs propres strictement négatives ? 
 2. On note $\lambda_1\leqslant \lambda_2\leqslant \cdots\leqslant \lambda_n$ les valeurs propres de $A\in  \mathcal E_n$ et $(X_1,\ldots,X_n)$  une base orthonormée  de vecteurs propres associée à  l'ordre $\lambda_1, \dots,\lambda_n$. 
     a) Que peut-on conjecturer sur les coefficients de $X_n$ ?
     b) Montrer que : $\forall Y\in\mathbb R^n,\ ^tYAY\leqslant \lambda_n\|Y\|^2$.
     c) Démontrer la conjecture (on considèrera le vecteur $Z_n$ dont les composantes sont les valeurs absolues des composantes de $X_n$).
 3.  On note $A_a=\begin{pmatrix}A & aX_n\\a\,^t\!X_n & 0\end{pmatrix}$ pour tout $a$ réel .    
      a) On pose : $A=\begin{pmatrix}1 &2&3 \\2&1&3\\3&3& 0\end{pmatrix}$.           
          Donner les valeurs propres de $A$. En déduire celles de $A_a$ pour certaines valeurs de $a$.
      b) Donner les valeurs propres de $A_a$  dans le cas général . 
      c) ??

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

2.c) Montrer que  $^tZ_nAZ_n\geqslant \lambda_n\|Z_n\|^2$.
3.a) S'intéresser à $A_a\begin{pmatrix}X_i\\0\end{pmatrix}$ où $X_i$ est vecteur propre de $A$ associé à $\lambda_i$.

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