Énoncé(s) donné(s)
Soit $n\in\mathbb{N}^*$. On pose $\sigma(n)=\sum_{d|n}d$, et $\tau(n)=\operatorname{Card}\{d\in\mathbb{N}\ /\ d|n\}$.
1. Coder $\sigma$ et $\tau$ en $\tt Python$.
2. Numériquement, donner les $k\in[\![1,1000]\!]$ tels que $\sigma\circ\tau(n)=n$, puis ceux tels que $\tau\circ\sigma(n)=n$.
3. Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}^*,\, \tau(n)\leqslant 2\sqrt{n}$.
4. Montrer que $\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}^*,\,\sigma(n)\leqslant n+\sum_{k=1}^{\lfloor \frac n2\rfloor}k$.
5. En déduire que $\forall n\in\mathbb{N}^*,\,\sigma(n)\leqslant\dfrac{1}{8}(n^2+10n)$.
6. En déduire tous les $n\in\mathbb{N}^*$ tels que $\sigma\circ\tau(n)=n$.
7. Déterminer tous les $n\in\mathbb{N}^*$ tels que $\tau\circ\sigma(n)=n$.
8. (L'énoncé admettait une conjecture plutôt complexe sur des paires de polynômes $P$ et $Q$ de $\mathbb Z[X]$ irréductibles dans $\mathbb Q[X]$, de sorte qu'il existe sous certaines conditions une infinité d'entiers naturels tels que $P(n)$ et $Q(n)$ sont simultanément premiers. Il s'agit probablement de la conjecture de Schinzel).
En admettant une telle conjecture, montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers $p$ tels que $\dfrac{\sigma(p^2)}{\tau(p^2)}$ soit premier.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
Aucun commentaire posté pour le moment