Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\boxed{\textbf{Exercice 1}\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle{\int}}$
Soit $A\in \mathcal S_n(\mathbb{R})$. On note $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ ses valeurs propres comptées avec multiplicité telles que $\lambda_1 \geqslant \dots \geqslant \lambda_n$.
Montrer que $\forall k\in [\![ 1,n ]\!], \ \displaystyle \sum_{j=1}^k a_{j,j} \leqslant \sum_{j=1}^k \lambda_j $.

Indications

• Montrer que pour toutes bases orthonormées $(u_i)_{i\in [\![1,n ]\!]}$ et $(v_j)_{j\in [\![1,n ]\!]}$ de $\mathbb{R}^n$, $\forall i\in[\![ 1,n ]\!],\ \displaystyle \sum_{j=1}^n \langle u_i,v_j\rangle^2 = 1$.
• Montrer que $\forall j\in [\![1,n]\!],\ \displaystyle a_{j,j} = \sum_{i=1}^n \lambda_i p_{i,j}^2$ où $p_{i,j}$ est le produit scalaire entre deux vecteurs appartenant à des bases orthonormées.