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Epreuve Orale 6456

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2021

Filière : MP

Concours : Banque Mines-Ponts

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Diagonalisabilité - Variables aléatoires

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)

$\boxed{\textbf{Exercice 1}\vphantom{|}}$

Dans cet exercice, on considère deux urnes. La première contient des boules blanches et des boules noires, la proportion de boules blanches étant notée $p$. La seconde contient 10 boules numérotées de 0 à 9. On pioche avec remise dans la première urne jusqu'à obtenir une boule blanche. On note $N$ la variable aléatoire correspondant au nombre de tirages nécessaires à l'obtention de la boule blanche. On effectue alors $N$ tirages dans la seconde urne et on note pour le $i$-ième tirage $Y_i$ la variable aléatoire correspondant au numéro tiré.

On pose $\displaystyle X(\omega) = \sum_{i=1}^{N(\omega)} \dfrac{Y_i(\omega)}{10^i}$.
1. Reconnaître la loi de $N$. Redémontrer son espérance, sa variance et sa fonction génératrice.
2. Montrer que $X$ admet une espérance et la déterminer.
3. On note $f : t \mapsto P(X<t)$. Montrer que $f$ est continue sur $[0;1]$.
 

$\boxed{\textbf{Exercice 2}\vphantom{|}}$
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telle que : $\exists n\in\mathbb{N}$ /  $A^n$ est diagonalisable et $\det A\neq 0$.
Montrer que $A$ est diagonalisable.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
Énoncé du second exercice incomplet : il y avait deux autres questions en suivant.

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