Énoncé(s) donné(s)
$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom |}$ : n°33 de la Banque
$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom |}\vphantom{\displaystyle\int}$
Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $n$. Soit $u\in\mathcal{L}(E)$.
1. a) Si $u^2=0$, montrer que $\operatorname{rg}(u)\leqslant \dfrac{n}{2}$.
b) Soit $r\in\mathbb{N}$ tel que $r\leqslant \dfrac{n}{2}$. Donner un endomorphisme $u\in\mathcal{L}(E)$ tel que $u^2=0$ et $\operatorname{rg}(u)=r$.
2. Soit $v\in\mathcal{L}(E)$. On suppose que $u$ et $v$ commutent.
a) Montrer que si $u$ admet $n$ valeurs propres distinctes, alors $u$ et $v$ admettent une base commune de diagonalisation.
b) Montrer que si $u$ et $v$ sont diagonalisables, alors $u$ et $v$ admettent une base commune de diagonalisation.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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