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Epreuve Orale 6444

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2021

Filière : MP

Concours : Banque Mines-Ponts

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Diagonalisation - Equation différentielle - Groupes - Variables aléatoires

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)

$\boxed{\textbf{Exercice 1}\vphantom{|}}$

Soit $X_1,\dots,X_n$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant la loi uniforme sur $[\![ 1,n ]\!]$.

On pose : $\forall i\in [\![ 1,n ]\!], \ Y_i = \operatorname{card}(\{j\in[\![1,n]\!], \ X_j=i\})$.
1. Donner la loi de $Y_i$, pour tout $i\in [\![ 1,n ]\!]$.
2. Soit $(i,j,k)\in [\![1,n]\!]^3$ tel que $i\neq j$. Donner la loi conditionnelle de $Y_j$ sachant $Y_i=k$.

$\boxed{\textbf{Exercice 2}\vphantom{|}}$
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $(E) : x^3y' -2y = 0$.
 
$\boxed{\textbf{Exercice 3}\vphantom{|}}$
Soit $G$ un groupe fini. On suppose que tous les éléments de $G$ sont d'ordre au plus 2. Que peut-on dire du cardinal de $G$ ?

$\boxed{\textbf{Exercice 4}\vphantom{|}}$
Soit $a_1,\dots,a_n,b,c$ des réels. Diagonaliser \begin{pmatrix}a_1 & b & \cdots  & b\\ c & a_2 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots &\ddots & b\\ c & \cdots & c & a_n\end{pmatrix}

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers
Exercice 1 donné pendant la préparation.
Exercices 3 et 4 dictés à l'oral.

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