Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2021

Filière : MP

Concours : Banque Mines-Ponts

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Calcul différentiel - Diagonalisabilité - Eléments propres d'un endomorphisme - Topologie

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Énoncé(s) donné(s)

$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, $A\neq 0_{\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}$.
Soit $\phi_A$ l'endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ défini par $\phi_A(M) = \operatorname{tr}(A)M-\operatorname{tr}(M)A$.

1. Étudier les sous-espaces propres et la diagonalisabilité de $\phi_A$.

2. Soit $B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. Résoudre l'équation $\phi_A(M)=B$.

$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle\int}$

Soit $\Delta = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2, \ xy=0\}$ et $D= \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2, \ xy \in \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right[ \right\}$.

1. Représenter $\Delta$ et $D$ dans $\mathbb{R}^2$.

2. $\Delta$ et $D$ sont-ils ouverts ? fermés ?

3. Montrer que $f:(x,y)\mapsto \left\{\begin{array}{ll}\dfrac{\ln(1+\sin(xy))}{xy} & \text{si } (x,y)\notin \Delta\\1 & \text{si } (x,y)\in\Delta\end{array}\right.$ est de classe $C^\infty$ sur $D$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers

Epreuve Orale 6440

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