Énoncé(s) donné(s)Exercice 1 : n°27 de la banque
Exercice 2 :
Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ l'endomorphisme associé à la matrice $A$ dans la base $\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_5)$, où
$$A = \begin{pmatrix}0&0&0&0&a\\1&0&0&0&b\\0&1&0&0&c\\0&0&1&0&d\\0&0&0&1&e\end{pmatrix} \in\mathcal{M}_5(\mathbb{R})$$
avec $(a,b,c,d,e)\in\mathbb{R}^5$.
1. On suppose dans cette question que $a=b=c=d=e=0$. Déterminer $\chi_u$ et $\pi_u$.
2. Soit $k\in[\![1,5]\!]$. Calculer $u^k(e_1)$.
3. Soit $P$ un polynôme unitaire tel que $P(u)(e_1)=0$.
a) Montrer que $\deg(P)\geq 5$.
b) Déterminer un polynôme $P$ tel que $\deg(P)=5$ et $P(u)(e_1)=0$.
c) Déterminer $\pi_u$.
d) Déterminer $\chi_u$ par deux méthodes différentes.
4. On pose $a=c=e=0$, $b=-2$ et $d=4$. $u$ est-il diagonalisable ?
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
Pour la question 4, pas sûr des valeurs de $b$ et $d$.
Enoncé incomplet : question 5 manquante.
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