Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2021

Filière : MP

Concours : CCINP (ou CCP)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Séries à termes positifs

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Énoncé(s) donné(s)
Soit $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ une suite de réels telle que $\forall n \in \mathbb{N}$, $a_n\geqslant 0$. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose :

$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{1+a_n}\text{ et } c_n=\frac{1}{1+n^2a_n}$

1. a) Montrer que si $\lim\limits_{n\to +\infty} b_n=0$, alors $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=0$.

b) Montrer que pour $n$ suffisamment grand, $a_n\leqslant 2b_n$.
2. a) Montrer que si $\sum b_n$ converge, alors $\sum a_n$ converge.

b) Montrer que si $\sum c_n$ diverge, alors $\sum a_n$ converge ou bien diverge.
3. On admet que la fonction $f\colon x \mapsto x+\frac{1}{1+n^2x}$ admet un minimum sur $[0,+\infty[$ en $\frac{n-1}{n^2}$.

a) Montrer que si $\sum a_n$ converge, alors $\sum c_n$ diverge.

b) Montrer que si $\sum a_n$ diverge, alors $\sum c_n$ converge ou bien diverge.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
La formulation de l'énoncé est discutable, mais elle est authentique.

Epreuve Orale 6433

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