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Epreuve Orale 6429

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2021

Filière : PSI

Concours : CCINP (ou CCP)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Intégrales à paramètres - Réduction de matrice

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1
Soient $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ et $B=\begin{pmatrix}A&A\\ 0&0\end{pmatrix}\in\mathcal M_{2n}(\mathbb R)$.
  1. Donner le rang de $B$ en fonction du rang de $A$.
  2. Montrer que, pour tout $P\in\mathbb R[X]$, $\quad P(B)= \begin{pmatrix}P(A)&P(A)\\ 0&0\end{pmatrix} + P(0) \begin{pmatrix}0&-I_n\\ 0&I_n\end{pmatrix}$.
  3. On suppose que $A$ est diagonalisable. Montrer que $B$ l'est aussi, et donner ses valeurs propres.

Exercice 2
Soit $f$ : $\displaystyle x\in\mathbb R\longmapsto \int_0^{+\infty} \frac{te^{-tx}}{e^t-1}\, dt$.
  1. Donner le domaine de définition de $f$.
  2. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
  3. Pour tout $x>0$, calculer $f(x-1)-f(x)$.
  4. En déduire une expression de $f$ sous la forme d'une série de fonctions.
  5. Proposer une autre méthode pour décomposer $f(x)$ en somme de série ; obtient-on la même série ?

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

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