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Année : 2021
Filière : MP
Concours : Banque Mines-Ponts
Matière(s) concernée(s) : Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Algèbre linéaire - Equation différentielle
Énoncé(s) donné(s)
$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{|} }\vphantom{\displaystyle\int}$ (avec préparation)
1. Résoudre sur $D = {] -\infty ,1 [}$ l'équation $(E)$ : $\displaystyle xy'+y=\frac{1}{1-x}$.
2. L'équation $(E)$ a-t-elle une solution de classe $C^{\infty}$ sur $D$ ?
$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{|} }\vphantom{\displaystyle\int}$ (sans préparation)
1. Soit $M \in \mathcal M_{n+1}(\mathbb{R})$ telle que $m_{i,j} = \binom{j-1}{i-1} $.
Montrer que $M$ est inversible et calculer son inverse.
2. On note $s(p,n)$ le nombre de surjections d'un ensemble de cardinal $p$ dans un ensemble de cardinal $n$.
Montrer que $n^p=\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} s(p,k)$.
(il y avait une suite que je n'ai pas eu le temps de traiter).
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pour l'exercice 2, penser à utiliser un espace vectoriel connu pour l'application associée.
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