Énoncé(s) donné(s)
$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle\int}$
On note :
- $\mathcal H$ l'ensemble des matrices carrées réelles d'ordre $n$ de trace nulle.
- $\mathcal N$ l'espace vectoriel engendré par les matrices nilpotentes.
1. $\mathcal N$ est-il l'ensemble des matrices nilpotentes ?
2. Montrer que $\mathcal N\subset \mathcal H$.
3. A-t-on $\mathcal N=\mathcal H$ ?
$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Soit $x$ réel tel que $|x|<1$. Montrer que :
$\hspace{5em}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\frac {2^k\,x^{2^k}}{1+x^{2^k}}=\sum_{k=1}^{+\infty}x^k$.
► Remarque. Je n'ai aucune certitude sur l'énoncé d'origine. Celui-ci (garanti) m'a été suggéré par le modérateur.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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