Énoncé(s) donné(s)
On étudie la propagation d'une épidémie. $Z_n$ correspond à la population de bactéries à l'instant $n$. Cette population grandit selon la loi $Z_n = X_{n,1}+X_{n,2}+\cdots+X_{n,Z_{n-1}}$ avec $X_{n,1}, X_{n,2}, \dots, X_{n,Z_{n-1}}$ mutuellement indépendantes suivant la même loi de Poisson.
1. Questions d'informatique :
a) Écrire un programme $\tt Python$ pour $Z_n$.
b) Donner la probabilité d'extinction de l'épidémie.
c) Donner le point fixe le plus proche de 0 de la fonction génératrice de $Z_n$.
2. Montrer que $Z_n$ est une variable aléatoire.
3. a) Montrer que, si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\mathbb N$, alors $G_{X+Y} = G_X\cdot G_Y$.
b) En déduire la fonction génératrice de $Z_n$.
► Il manque les questions de la fin de l'énoncé.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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