Énoncé(s) donné(s) Soit $n\geq 2$ un entier. On lance $n$ fois une pièce équilibrée. On dit qu'un pile est isolé si
il est au début de la suite des lancers et suivi d'un face
il est à la fin de la suite des lancers et précédé d'un face
ou il est au milieu encadré par des face, i.e. précédé et suivi d'un face.
On note $A_n$ l'événement "Pour une suite de $n$ lancers, tous les piles sont isolés'' et on note $S_n$ l'ensemble des Pile isolés lors de $n$ lancers.
Partie 1:
Ecrire une fonction $\mathsf{PilesNonSuccessifs}(n)$ qui renvoie un booléen pour savoir si tous les piles sont isolés.
En déduire une estimation de la probabilité de $A_n$.
Afficher $2^n\mathbb{P}(A_n)$ pour $n\in[\![\,3,9\,]\!]$ et en déduire une conjecture.
Démontrer cette conjecture.
Montrer que l'événement `"obtenir deux piles consécutifs'' est quasiment certain pour une suite infinie de lancers.
Partie 2:
Ecrire une fonction prenant pour argument $n$ et qui renvoie $S_n$.
En déduire une estimation de l'espérance de $S_n$.
Calculer $\mathbb{E}[S_n]$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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