$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Soit $S\in\mathcal S_n(\mathbb R)$ une matrice symétrique dont les coefficients diagonaux sont nuls et $D$ une matrice diagonale non nulle.
Montrer que $S+D$ est semblable à $D$ si, et seulement si, $S$ est nulle.
$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Soit $(a_n)_{n\in\mathbb N^*}$ une suite réelle telle que :
$a_1 = 1\ ,\ \forall n\geqslant 2,\ a_n=2\,a_{\lfloor\frac n2\rfloor}$.
Montrer que $(a_n)$ est définie, puis que la série $\sum \frac 1{a_n^2}$ converge.
Pour l'exercice 1, considérer la trace de $(S+D)^2$.
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