$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Soit $E=\{f\in \mathcal C^0(]0,1],\mathbb R)\ /\ t\mapsto t^2f(t)$ est intégrable sur $]0,1]\}$.
1. Montrer que $E$ est un espace vectoriel.
2. Montrer que $(f,g)\mapsto \int_0^1t^2f(t)g(t)\,\mathrm dt$ est un produit scalaire sur $E$.
3. Question oubliée.
$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$
1. Montrer que la série $\displaystyle\sum_{n\geqslant 0}\frac{(-1)^n}{n+1+\sin n}$ converge.
a) A l'aide d'un développement limité.
b) En caractérisant $\displaystyle\sum_{n\geqslant 1}\left(\frac{(-1)^n}{n+1+\sin n}-\frac{(-1)^n}n\right)$ (principe de l'éclatement).
c) En montrant que le critère spécial des séries alternées s'applique.
2. Question oubliée.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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