Énoncé(s) donné(s)
$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$ ??
$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Soit $E=\mathbb R[X]$.
1. Montrer que $\varphi:(f,g)\mapsto \displaystyle\int_0^{+\infty}f(t)g(t)\mathrm e^{-t}\,\mathrm dt$ est un produit scalaire sur $E$.
2. Calculer $\displaystyle\int_0^{+\infty}t^n\mathrm e^{-t}\,\mathrm dt$ pour tout $n\in\mathbb N$.
3. Donner une base orthonormée de $F=\mathbb R_2[X]$.
4. Déterminer le projeté orthogonal de $X^3$ sur $F$.
5. Montrer que :
$\forall P\in E,\ \left|\displaystyle\int_0^{+\infty}P(t)\mathrm e^{-t}\,\mathrm dt\right|\leqslant\sqrt{\displaystyle\int_0^{+\infty}P^2(t)\mathrm e^{-t}\,\mathrm dt}$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuvePour la question 5,
utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz avec $P$ et $1$.
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