Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

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Epreuve Orale 6401

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2021

Filière : MP

Concours : CCINP (ou CCP)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Calcul d'une intégrale - Produit scalaire

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$ ??
$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Soit $E=\mathbb R[X]$.
1. Montrer que $\varphi:(f,g)\mapsto \displaystyle\int_0^{+\infty}f(t)g(t)\mathrm e^{-t}\,\mathrm dt$ est un produit scalaire sur $E$.
2. Calculer $\displaystyle\int_0^{+\infty}t^n\mathrm e^{-t}\,\mathrm dt$ pour tout $n\in\mathbb N$.
3. Donner une base orthonormée de $F=\mathbb R_2[X]$.
4. Déterminer le projeté orthogonal de $X^3$ sur $F$.
5. Montrer que :
                 $\forall P\in E,\ \left|\displaystyle\int_0^{+\infty}P(t)\mathrm e^{-t}\,\mathrm dt\right|\leqslant\sqrt{\displaystyle\int_0^{+\infty}P^2(t)\mathrm e^{-t}\,\mathrm dt}$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pour la question 5,  utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz avec $P$ et $1$.
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