Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{|} }\vphantom{\displaystyle\int}$ (avec préparation)

1) Démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les espérances.
2) Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs positives admettant un moment d'ordre deux. Pour $\alpha$ dans $]0,1[$, montrer que $P(X\geqslant \alpha E(X))\geqslant (1-\alpha)^2\frac{E(X)^2}{E(X^2)}$.
3) Soient $X_1,...,X_n$ des variables aléatoires positives indépendantes ayant toute une espérance qui vaut $1$ et $P_n=\prod_{k=1}^nX_k$.

    Montrer que $\prod_{k=1}^n E\left(\sqrt{X_k}\right)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$ si et seulement si pour tout $\varepsilon$ de $\mathbb{R}_+^*$, $P(|P_n|>\varepsilon)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

 

$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{|} }\vphantom{\displaystyle\int}$ (avec préparation)

Soient $E=\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ et $u$ l'application qui à $f$ de $E$ associe $x\mapsto f(px+q)$, avec $p\in\left]0,1\right[$ et $q=1-p$.

1) Montrer que $u$ est un automorphisme de $E$.
2) Montrer que les valeurs propres de $u$ sont dans $]-1,1]$.
3) Montrer que si $f$ est un vecteur propre, alors il existe $k\in\mathbb{N}$ tel que $f^{(k)}=0$.
4) Trouver les valeurs propres de $u$ et les vecteurs propres associés.

Dans l'exercice 2, les deux dernières questions n'ont pas été restituées par l'étudiant, mais j'ai trouvé cet exercice ailleurs et j'ai rajouté ce qui aurait pu constituer la fin de l'exercice.