Epreuve Orale 6393

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2021
Filière : 
MP
Concours : 
CCINP (ou CCP)
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Espaces euclidiens, Réduction des endomorphismes
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)

Soit $E$ un espace euclidien et $\mathcal{B}$ une base orthonormée de $E$. Soient $x,y\in E$ et si $X=Mat_{\mathcal{B}}(x)$ et $Y=Mat_{\mathcal{B}}(y)$, on rappelle que $(x|y)=X^TY$.
Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ et $M=Mat_{\mathcal{B}}(u)$. Soit $v\in\mathcal{L}(E)$ tel que $M^T=Mat_{\mathcal{B}}(v)$.
On suppose que $u$ et $v$ commutent.
1)a) Montrer que : $\forall x,y\in E,\;(u(x)|y)=(x|v(y))$.
b) Montrer que $\mathrm{Ker}(u)=(\mathrm{Im}(v))^\perp$.
c) Etablir que : $E=\mathrm{Ker}(u) \overset{\perp}{\oplus}\mathrm{Im}(v)$.
d) Montrer que $\mathrm{Ker}(u)=\mathrm{Ker}(vu)=\mathrm{Ker}(v)$ et $\mathrm{Im}(u)=\mathrm{Im}(v)$
2) Montrer que $u$ et $v$ ont le même spectre et les mêmes sous-espaces propres.
3) Montrer que $u$ est un endomorphisme symétrique si et seulement s'il est diagonalisable.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers
question 1)d)  oubliée par l'étudiant, mais qui parlait de noyau et d'image donc j'ai mis une question qui aurait pu être posée

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