Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Soit $E$ un espace euclidien et $\mathcal{B}$ une base orthonormée de $E$. Soient $x,y\in E$ et si $X=Mat_{\mathcal{B}}(x)$ et $Y=Mat_{\mathcal{B}}(y)$, on rappelle que $(x|y)=X^TY$.

Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ et $M=Mat_{\mathcal{B}}(u)$. Soit $v\in\mathcal{L}(E)$ tel que $M^T=Mat_{\mathcal{B}}(v)$.
On suppose que $u$ et $v$ commutent.
1)a) Montrer que : $\forall x,y\in E,\;(u(x)|y)=(x|v(y))$.
b) Montrer que $\mathrm{Ker}(u)=(\mathrm{Im}(v))^\perp$.
c) Etablir que : $E=\mathrm{Ker}(u) \overset{\perp}{\oplus}\mathrm{Im}(v)$.
d) Montrer que $\mathrm{Ker}(u)=\mathrm{Ker}(vu)=\mathrm{Ker}(v)$ et $\mathrm{Im}(u)=\mathrm{Im}(v)$
2) Montrer que $u$ et $v$ ont le même spectre et les mêmes sous-espaces propres.
3) Montrer que $u$ est un endomorphisme symétrique si et seulement s'il est diagonalisable.

question 1)d)  oubliée par l'étudiant, mais qui parlait de noyau et d'image donc j'ai mis une question qui aurait pu être posée