Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Exercice 78 de la banque :

Soit E un espace euclidien de dimension n et u un endomorphisme de $E$.
On note (x|y) le produit scalaire de x et de y et ||.|| la norme euclidienne associée.
1. Soit u un endomorphisme de E, tel que :$ ∀x ∈E,||u(x)||= ||x||$.
(a) Démontrer que : $∀(x,y) ∈E^2, (u(x)|u(y)) = (x|y)$.
(b) Démontrer que u est bijectif.
2. Démontrer que l’ensemble $O(E)$ des isométries vectorielles de $E$ , muni de la loi ◦ , est un groupe.
3. Soit $u ∈ \mathcal{L}(E)$. Soit $e = (e_1,e_2,...,e_n)$ une base orthonormée de E.
Prouver que : $u ∈O(E) \iff (u(e_1),u(e_2),...,u(e_n))$ est une base orthonormée de E.

Exercice 2 :

Développer en séries entières les fonctions suivantes au voisinage de 0 et préciser le rayon de convergence :
 a) $f(z)=\dfrac{1}{6z^2-5z+1}, z \in \mathbb{C}$

b) $g(x)=\ln \dfrac{2+x}{1-x}, x \in \mathbb{R}$

c) $h(x)= \int_0^x \sin(t^2)dt$, dérivable sur $\mathbb{R}, x \in \mathbb{R}$