Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Année : 2021

Filière : MP

Concours : CCINP (ou CCP)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Intégration terme à terme - Séries entières

Énoncé(s) donné(s)

$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$ Exercice n° 68 de la Banque.

$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$

On pose : $I=\displaystyle\int_0^1\ln x\cdot\ln(1-x)\,\mathrm dx$.

1. Montrer que $I$ est bien définie.

2. Donner le développement en série entière de $x\mapsto\ln(1-x)$. Quel est le rayon de convergence ?

3. Si $n\in\mathbb N^*$, montrer que $x\mapsto x^n\ln x$ est intégrable et calculer son intégrale.

4. Calculer $I$ en admettant la formule $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac 1{n^2}=\frac{\pi^2}6$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers

Epreuve Orale 6387