Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Epreuve Orale 6368

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2021

Filière : MP

Concours : Centrale-Supélec

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Mathématiques 1 - Polynôme caractéristique

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Soit $E$ un $\mathbf K$-espace vectoriel et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Soit $f$ un endomorphisme de $E$ tel que $F$ soit stable par $f$.

On note $ f_F $ l'endomorphisme induit par $f$ sur $F$.

1. Démontrer que $\chi _{f_F}$ divise $\chi _{f}$.

2. Supposons que $\chi _f$ soit irréductible. Démontrer que les seuls sous-espaces stables par $f$ sont $E$ et $\{ 0_E \}$.

3. Soit $x \in E$. Montrer qu'il existe un polynôme $\Pi _{f,x}$ tel que $ \{ P \in \mathbf K [X], P(f)(x)=0_E \} = \Pi _{f,x} \cdot \mathbf K[X] $.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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