Énoncé(s) donné(s)
$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Soit $f$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ donnée par :
$f(x) = \displaystyle\int_0^1 \frac{t^x}{\sqrt{1-t^2}}\,\mathrm dt$.
1. Donner le domaine de définition de $f$.
2. Déterminer une relation entre $f(x)$ et $f(x-2)$.
3. Trouver un équivalent de $f$ en $(-1)^+$.
$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Soit $(A,B)\in\mathfrak M_n(\mathbb R)$. On note $E_{A,B} = \{ M \in \mathfrak M_n(\mathbb R)\ /\ AMB = 0\}$.
Déterminer la dimension de $E_{A,B}$ en fonction du rang des matrices $A$ et $B$.
$\boxed{\textbf{ Exercice 3 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Soit $p$ un nombre entier impair. Démontrer l'équivalence : $\vphantom{\displaystyle\int}$
$\hspace{5em}p$ premier $\iff$ $p$ ne divise pas $(p-1)!$
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pour l'exercice 2 l'examinateur m'a conseillé de se ramener à un ensemble dont la dimension était plus simple à calculer.
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