Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi binomiale $\mathcal B(n, \frac 12)$ où $n\in\mathbb N^*$.

1. Rappelez l'espérance et la variance de $X$.

2. Montrer que : $\displaystyle\sum^{n}_{k=0}{\binom{n} {k}\binom{n} {n-k} } = \binom{2n}{n}$.

3. Calculer $P(X=Y)$.

4. a) Montrer que $P(X<Y) = P(Y<X)$.

    b) Calculer $P(X\geqslant Y)$.

5. ?