Énoncé(s) donné(s)
$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Soit $\|\cdot\|_{\infty}$ la norme de la convergence uniforme et $E=\{f \in\mathcal{C}^1([0,1]) | f(0)=0\}$.
On considère $n$ et $N$ définies sur $E$ par :
$\vphantom{\huge |}\hspace{5em}\forall f \in E,\ n(f) = \lvert\lvert f+f'\rvert\rvert_{\infty}\ $ et $\ N(f)=\lvert\lvert f\rvert\rvert_{\infty} + \lvert\lvert f'\rvert\rvert_{\infty} $
1. Montrer que $n$ et $N$ sont des normes.
2. Montrer qu'elles sont équivalentes. On pourra remarquer que $f(x)= \int_{0}^{x} f'(t) \, \mathrm{d}t $ et que pour $g(t)=\mathrm e^tf(t)$, on a $f'(t)=\mathrm e^{-t}(g'(t)-g(t))$.
$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Une application $p$ d'un ensemble $E$ dans $E$ est dite idempotente si $p\circ p=p$.
1. a) Montrer que si $p$ est injective et idempotente, alors $p=\text{Id}_E$.
b) Montrer que si $p$ est surjective et idempotente, alors $p=\text{Id}_E$.
c) Construire une application idempotente $p$ différente de l'identité pour $E=\{a,b\}$.
2. Montrer que $p$ est idempotente ssi : $\forall x \in p(E), \ p(x)=x$.
3. Donner les trois applications idempotentes pour $E=\{a,b\}$, et les dix pour $E=\{a,b,c\}$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Exercice 1: l'examinateur m'a guidée pour affiner une majoration.
Exercice 2 : 3) définir les images pour chaque chaque élément de $E$ selon $p(E)$.
Commentaires divers
Les deux exercices ont été donné en même temps au début; j'ai pu commencer par celui que je souhaitais. Au tableau, l'examinateur m'a dit de passer au second exercice un peu avant que j'ai fini le premier. L'application $p$ n'est pas nécessairement linéaire. Le second exercice comprenait une 4ème question dont je ne me souviens plus.
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