Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2021

Filière : MP

Concours : Banque Mines-Ponts

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Equation différentielle - Intégrales à paramètres

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Énoncé(s) donné(s)

On considère l'application $F$ définie pour tout $t\in\mathbb R$ par $F(t) = \displaystyle\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{\cos xt}{1+x^2}\,\mathrm dx$ .

On cherche à montrer que $F(t)=\pi \exp (-\left | t \right |)$.

1) Montrer que $F$ est définie sur $\mathbb{R}$ et que $F$ coïncide bien avec la fonction voulue en 0.

2) Montrer que $F$ est dérivable sur $\mathbb{R_{+}^{*}}$ et que $F'(t)=\displaystyle\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{(u^2-t^2)\cos u}{(u^2+t^2)^2}\,\mathrm du$.

3) Montrer que $F''=F$ puis en déduire $F$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Aide au choix du changement de variable $u=xt$ pour la question 2).
Commentaires divers

Epreuve Orale 6281

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