Epreuve Orale 6163

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2021
Filière : 
MP
Concours : 
Banque Mines-Ponts
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Analyse, suites
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)

1) Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite numérique. Montrer que : 
$\hspace{6em}\displaystyle\underset{n \to +\infty}{\lim} u_n = \ell \implies \underset{n \to +\infty}{\lim} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} u_k = \ell$.
2) Soit $a >0,\ \alpha > 1$ et $f : [0,a] \to [0,a]$ continue admettant un développement asymptotique en 0 de la forme : $f(x) = x - \lambda x^\alpha + o(x^\alpha)$.
    a) Montrer qu'il existe $\varepsilon >0$ tel que 0 soit le seul point fixe de $f$ dans $[0,\varepsilon]$.
    b) On définit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tel que : $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f(u_n)$. Montrer que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers 0.
    c) Trouver un équivalent en 0 de $f(x)^{1-\alpha} - x^{1-\alpha}$ quand $x\to 0$.
    d) En déduire un équivalent de $u_n$ quand $n\to +\infty$.
    e) Appliquer aux fonctions $x \mapsto \sin x$ et $x \mapsto \ln(1+x)$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
2)b) L'examinateur attendait que je précise que $u_0 \in [0,\varepsilon]$.
Qualité de ce compte-rendu
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