1) Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite numérique. Montrer que :
$\hspace{6em}\displaystyle\underset{n \to +\infty}{\lim} u_n = \ell \implies \underset{n \to +\infty}{\lim} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} u_k = \ell$.
2) Soit $a >0,\ \alpha > 1$ et $f : [0,a] \to [0,a]$ continue admettant un développement asymptotique en 0 de la forme : $f(x) = x - \lambda x^\alpha + o(x^\alpha)$.
a) Montrer qu'il existe $\varepsilon >0$ tel que 0 soit le seul point fixe de $f$ dans $[0,\varepsilon]$.
b) On définit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tel que : $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f(u_n)$. Montrer que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers 0.
c) Trouver un équivalent en 0 de $f(x)^{1-\alpha} - x^{1-\alpha}$ quand $x\to 0$.
d) En déduire un équivalent de $u_n$ quand $n\to +\infty$.
e) Appliquer aux fonctions $x \mapsto \sin x$ et $x \mapsto \ln(1+x)$.
2)b) L'examinateur attendait que je précise que $u_0 \in [0,\varepsilon]$.
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