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Epreuve Orale 5932

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2021

Filière : PSI

Concours : X-ENS Cachan (PSI)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Espace vectoriel normé - Intégrale généralisée

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)

$\boxed{\bf Partie\ I\vphantom{\displaystyle\sum}\ }$
Soit $E=\mathbb R_N[X]$ muni de son produit scalaire canonique $(P_1,P_2)\mapsto \langle P_1,P_2\rangle=\int_0^1P_1P_2$.
On prend $Q_0\in E\setminus \{0\}$ et $\alpha$ application non identiquement nulle de $\mathbb R_N[X]$ dans $\mathbb R$. 
On pose : $\forall P\in E,\ \phi(P)=\alpha(P)\cdot Q_0$.

A. On suppose que $\phi$ est linéaire.
    1. Montrer que $\alpha$ est linéaire.
    2. En déduire qu'il existe $P_0\in E$ tel que $\forall P\in E,\,\alpha(P)=\int_0^1P_0(x)P(x)\,\mathrm dx$.
               
B. On suppose que $\phi$ est un projecteur orthogonal.
    1. Montrer que $\phi$ est le projecteur orthogonal sur la droite engendrée par $Q_0$.
    2. En déduire que $\int_0^1P_0(x)Q_0(x)\,\mathrm dx=1$.
    3. Montrer que $P_0=\frac{Q_0}{\|Q_0\|^2}$.

$\boxed{\bf Partie\ II\vphantom{\displaystyle\sum}\ }$
On pose pour $a>0$ :
               $I(a)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-t^2-\frac{a^2}{t^2}}\,\mathrm dt\quad\text{et}\quad J(a)=a\int_0^{+\infty} \frac{ {\mathrm e^{-t^2-\frac{a^2}{t^2}}}}{t^2}\,\mathrm dt$ .

    1. Montrer que $I(a)$ et $J(a)$ sont définies pour tout $a>0$.
    2. Montrer que $I(a)=J(a)$ pour tout $a>0$.
    3. En déduire que $\forall a>0,\ I(a)=\frac{\mathrm e^{-2a}}{2}\int_0^{+\infty}\left(1+\frac a{t^2}\right)\mathrm e^{-(t-\frac at)^2}\,\mathrm dt$.
    4. Montrer que : $\forall a>0,\ I(a)=\frac{\sqrt\pi}2\mathrm e^{-2a}$.
        ► On admet que $\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm e^{-s^2}\,\mathrm ds=\sqrt\pi$.

Exercice supplémentaire

Soit $A=\left(\begin{array}{rr}-1 & 1\\ 0 & -1\end{array}\right)$. Existe-t-il $M\in \mathfrak M_2(\mathbb R)$ telle que $M^2=A$ ?

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
exercice supplémentaire non présent dans le sujet initial, mais il restait 5 minutes à la fin.
Fichiers joints

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