Énoncé(s) donné(s)
Soit $f$ un morphisme de groupe continu de $(\mathbb U,\times )$ dans $(\mathbb{C^*},\times )$.
1) Montrer que $f(\mathbb U)\subset \mathbb U$.
2) Soit $n\in \mathbb{N}$, montrer l'existence d'un entier $k_n$ tel que $f\left ( \exp\left ( \dfrac{2i\pi}{2^{n}} \right ) \right ) = \exp\left ( \dfrac{2ik_n\pi}{2^{n}} \right )$.
3) Montrer que $k_n=o(2^n)$ quand $n\rightarrow +\infty$.
4) Montrer que la suite $(k_n)$ converge.
5) Conclure qu'il existe $k \in \mathbb N$ tel que pour tout $z \in \mathbb U,\, f(z)=z^k$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
1) Montrer que $\operatorname{Im}f$ est bornée.
Commentaires divers
Ceci était une épreuve pour le magistère de mathématiques de Rennes, le format de l'épreuve était 20 minutes de préparation, 20 minutes de passage.
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