Epreuve Orale 5872

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2019
Filière : 
PSI
Concours : 
CCINP (ou CCP)
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Diagonalisabilité, Bases
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie non nulle.
$f,g\in\mathscr L(E)$ tels que $f^2=g^2=\mathrm{Id}_E$ et $f\circ g+g\circ f=0_{\mathscr L(E)}$.
a) Montrer que $f$ et $g$ sont des automorphismes de $E$.
Montrer que $\mathrm{Sp}(f)=\mathrm{Sp}(g)=\Big\{-1;1\Big\}$.
Montrer que $f$ et $g$ sont diagonalisables.
b) Montrer que $g$ induit un isomorphisme de $\mathrm{Ker}(f-\mathrm{Id}_E)$ dans $\mathrm{Ker}(f+\mathrm{Id}_E)$.
c) En déduire que la dimension de $E$ est paire.  
d) Soit $n\in\mathbb N$ tel que $\mathrm{dim}(E)=2n$.
Montrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle les matrices de $f$ et $g$ sont respectivement $\begin{pmatrix}\mathrm I_n&0\\0&-\mathrm I_n\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}0&\mathrm I_n\\-\mathrm I_n&0\end{pmatrix}$.


Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

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