Énoncé(s) donné(s)Pour $x\in\mathbb R^{+*}$ et $n$ entier supérieur ou égal à 2 on pose $\displaystyle u_n(x)=\frac{\ln x}{x^n \ln n}$.
a) Trouver le domaine de définition (que l'on notera $D$) de $\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}u_n(x)$.
b) La série $\displaystyle\sum_{n\geqslant 2} u_n$ converge-t-elle normalement sur $D$ ?
c) Pour $n\geqslant 1$, soit $R_n$ le reste de la série au rang $n$, défini par $\displaystyle R_n(x)=\sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k(x)$.
Montrer que $\displaystyle\quad\forall x\in D, \ |R_n(x)|\leqslant \frac1{\ln(n+1)}$.
d) Soit $S$ la fonction somme totale de la série, définie par $\displaystyle S(x)=\sum_{k=2}^{+\infty}u_k(x)$.
Examiner la continuité de $S$ sur $D$.
e) $S$ est-elle intégrable sur $D$ ?
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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