Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1:
Trouver les fonctions $f:\mathbb{N}^*\longmapsto\mathbb{N}^*$/ $\forall n>0,\,f(n+1)>f\circ f(n)$.
Exercice 2:On considère $\mathbb{K}$ un corps quelconque (non réduit à $\{0\}$ en réalité) et $J:=\begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0\\
\end{pmatrix}$.
1) On pose $A$ l'ensemble des combinaisons linéaires dans $\mathbb{K}$ des matrices $I_2$ et $J$. Que dire de la structure algébrique de $A$?
2) On appelle $B$ l'ensemble des matrices de $\frak{M}_2(\mathbb{K})$ qui commutent avec tout élément de $A$. Que dire de $B$?
Dorénavant, on cherche à résoudre l'équation $X^n=J$ dans $\frak{M}_2(\mathbb{K})$ en distinguant selon si $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
3) On suppose que $\mathbb{K}=\mathbb{R}$.
3) a) Déterminer un isomorphisme d'anneaux entre $A$ et un autre ensemble classique, en déduire la résolution de l'équation $X^n=J$ et son nombre de solutions.
3) b) En fait quelle est la structure algébrique de $A$ ici?
4) On suppose que $\mathbb{K}=\mathbb{C}$.
4) a) $A$ garde-t-elle la même structure algébrique?
4) b) En s'inspirant de la méthode de 3)a), résoudre de nouveau l'équation $X^n=J$ et dénombrer l'ensemble des solutions.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve:
(Les indications données par l'examinateur sont précédées d'une *)
Exercice 1:
* Considérer $f(2)$, que dire de $f(3)$
Commentaires divers:
_Proposition d'une solution pour l'exercice 1:
Montrons par récurrence sur $p>0$ que $\forall n\geqslant p, f(n)\geqslant p$.
Par hypothèse on est bon pour $f(1)$. Ensuite on utilise le fait que $f(p+1)>f(\underbrace{f(p)}_{\geqslant p})\geqslant p$ pour l'hérédité.
Ainsi on a que $\forall n>0, f(n+1)>f(\underbrace{f(n)}_{\geqslant n})\geqslant f(n)$ donc $f$ est strictement croissante.
Supposons par l'absurde que $\exists n_0\in\mathbb{N}^*/f(n_0)\geqslant n_0+1$, alors par croissance de $f$ on a que
$f(n_0+1)>f\circ f(n_0)>f(n_0+1),$ ce qui est absurde. On conclut alors que $f$ est l'application identité.
_ L'oral était assez particulier cette année: 2 examinateurs pour 2 exercices (30 minutes chacun), je n'ai pas pu terminer le premier exercice car l'examinatrice m'a laissé dans ma mouise exprès (la solution proposée a donc été trouvée après l'oral). Le second était un peu moins stressant car interactif (les échanges devaient être rapides, j'ai essayé de retranscrir la fibre de l'exercice en l'organisant avec des questions numérotées).
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