Epreuve Orale 5833

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2019
Filière : 
PC
Concours : 
CCINP (ou CCP)
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1 (identique à 5831) :

Soit $E=\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$. Pour $f$ dans $E$, on pose $u(f) : x\mapsto\int_x^{x+1}f$.
1) Soit $a\in\mathbb{R}$ et on définit sur $\mathbb{R}$ la fonction $h_a : t\mapsto e^{at}$. Montrer que $u(h_a)=\lambda_a h_a$, avec $\lambda_a=\frac{e^a-1}{a}$ si $a\ne0$ et $\lambda_0=1$.
2)a) Pour $x\in\mathbb{R}$, on pose $F(x)=\int_0^xf$. Ecrire $u(f)$ en fonction de $F$. Montrer que $u(f)$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ et exprimer $(u(f))'$.
b) $u$ est-elle surjective?
3)a) Montrer que $f$ est dans $\ker(u)$ si et seulement si $f$ est $1$-périodique et $\int_0^1f=0$.
b) Soit $k\in\mathbb{N}$. Montrer que $c_k : t\mapsto \cos(2\pi kt)$ est dans $\ker(u)$.
4) Montrer que l'application $(.,.) : (f,g)\mapsto \int_0^1fg$ définit un produit scalaire sur le sous-espace des fonctions $1$-périodiques de $E$.
Montrer que : $\forall k,l\in\mathbb{N},\;k\ne l \Rightarrow(c_k,c_l)=0$.
La dimension de $\ker(u)$ est-elle finie?
5) Déterminer $\mathbb{R}_+\cap Sp(u)$.


Exercice 2 :

Soient $X$ et $Y$ des variables aléatoires indépendantes qui suivent respectivement des lois géométriques de paramètre $p_1$ et $p_2$.
Soit $Z=\min(X,Y)$.
1) Soit $n\in\mathbb{N}$. Calculer $P(Z>n)$.
2) Déterminer le loi de $Z$.







Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

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