Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Exercice 1 :
Soient $D=]-1,1[\times\mathbb{R}$ et $f : (x,y)\in D\mapsto x^2-\sqrt{1-x^2}\cos(y)$.
1) Calculer $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$.
2)a) Préciser les points critiques de $f$.
b) Montrer que : $\forall (x,y)\in D,\;f(x,y)-f\left(\sqrt{3}/2,\pi\right)\leq x^2+\sqrt{1-x^2}-5/4.$
c) En posant $u=\sqrt{1-x^2}$, montrer que $f$ atteint son maximum global en $\left(\sqrt{3}/2,\pi\right)$.
3)a) Etudier le signe de $f(0,y)-1$.
b) Faire un développement limité à l'ordre $2$ de $f(x,\pi)-1$.
c) Le point $(0,\pi)$ est-il un extremum local?
4) Montrer que le point $(0,0)$ est un minimum global.

Exercice 2 :
Soit $t\in\mathbb{R}$ et on pose $f(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}\ln(1+e^{nt})$.
1) Quel est l'ensemble de définition de $f$?
2) Montrer que : $\forall x\in]-1,+\infty[,\;\ln(1+x)\leq x$.
3) Montrer que $\lim\limits_{t\to-\infty}f(t)=\ln(2)$.