Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Soit $n\in\mathbb{N}$ et on pose $I_n=\left]-\frac{\pi}{2}+n\pi, \frac{\pi}{2}+n\pi\right[$.
Soit $f : x\mapsto\tan(x)-x$.

1) Déterminer un développement limité à l'ordre $3$ de $\tan$ au voisinage de $0$.
2)a) Soit $n\in\mathbb{N}$. Montrer qu'il existe un unique $x_n$ dans $I_n$ tel que : $f(x_n)=0$.
b) Montrer que : $x_n\sim n\pi$.

 On pose $y_n=x_n-n\pi$.

3)a) Montrer que : $\forall n\in\mathbb{N},\;y_n=\arctan(x_n)$ et en déduire $\lim\limits_{n\to+\infty}y_n$.
b) Justifier que : $\tan\left(y_n-\frac{\pi}{2}\right)\sim y_n-\frac{\pi}{2}$.
4) Montrer que $\tan\left(y_n-\frac{\pi}{2}+\frac{1}{n\pi}\right)=\frac{x_n\tan\left(\frac{1}{n\pi}\right)-1}{x_n+\tan\left(\frac{1}{n\pi}\right)}$.
5) Montrer qu'il existe des réels $a,b,c$ et $d$ tels que :
$x_n=an+b+\frac{c}{n}+\frac{d}{n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right).$


Exercice 2 :


Soit $A=\begin{pmatrix}0&\cdots&0&1\\\vdots &&\vdots&\vdots\\0&\cdots&0&1\\1&\cdots&1&0\end{pmatrix}$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

1) Montrer que $A$ est diagonalisable. Combien de valeurs propres distinctes possède $A$?
2) Déterminer $Sp(A)$ et $\chi_A$.