Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Soit $f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}x^{2k}$.
1) Nature de $f$.
2) Etude de la continuité de $f$.
3) Exprimer $f$ à l'aide de fonctions usuelles.
4) Résoudre $xy'(x)+y(x)=\frac{1}{1+x^2}$.
5) Donner les solutions définies sur $\mathbb{R}$.


Exercice 2 :

Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ tel que $f\circ f=f.$
1) Montrer que $Im(f)\oplus\ker(f)=E$.
2) Représentation géométrique de $f$.
3) Montrer que $f$ est diagonalisable.
4) Qu'est ce qu'il en est des symétries vectorielles dans  $\mathbb{R}$ ou  $\mathbb{C}$?