Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Deuxième série

Soit $E=\mathbf{R}^3$ muni de son produit scalaire usuel et $u$ une isométrie vecorielle.
1) Définir une isométrie vectorielle.
2) Quelles sont les valeurs propres possibles de $u$? Justifier.
3) $u$ admet-il nécessairement une ou des valeurs propres réelles? Justifier.
4) La matrice de $u$ dans la base canonique est $A=\left(\begin{array}{lll}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{array}\right).$ Caractériser géométriquement $u$.

Exercice 2 :

Soit $F(x)=\int_0^{+\infty}g(xt)e^{-x^2t}dt$.
Soit $g$ une fonction bornée impaire et continue.
1) Etude de la convergence de $\int_0^{+\infty}e^{-\alpha t}dt$ en fonction du réel $\alpha$.
2)a) Montrer que $F$ est définie sur $\mathbf{R}$.
b) Quelle est la parité de $F$?
3)a) Enoncer le théorème de continuité d'une intégrale à paramètre.
b) $F$ est-elle continue sur $\mathbf{R}$?
4)a) On pose $g=\sin$ .
b) Calculer $F$
c) Montrer que $F$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbf{R}$.