Énoncé(s) donné(s)
Première série d'épreuves orales
Exercice 1 :
Soit $A=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&0&0&0\\1&0&0&0\\1&1&1&1\end{pmatrix}$.
1) Sans le moindre calcul, déterminer le rang de $A$, son image et son noyau.
2) $A$ est-elle diagonalisable?
3) $A$ est-elle semblable à $B=\begin{pmatrix}1&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$?
Exercice 2 :
Soit $\sum_{n\geq0} a_nx^n$ une série entière de rayon de convergence $R$ strictement positif.
Montrer que la série entière $\sum_{n\geq0}\frac{a_n}{n!}x^n$ a un rayon de convergence infini.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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