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Epreuve Orale 5825

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2019

Filière : PC

Concours : TPE-EIVP

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Endomorphisme de polynômes - Réduction des endomorphismes - Suites récurrentes

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1 :

Soit $n\in\mathbb{N}$. Pour $P$ dans $\mathbb{R}_n[X]$, on pose $T(P)=P(X+1)-P(X)$.
1) Montrer que $T$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$.
2) Montrer que le spectre de $T$ est $\{0\}$. D\'eterminer le sous-espace propre associé. $T$ est-il diagonalisable?
3) Montrer que $T^{n+1}=0$ (on pourra comparer les degrés de $T(P)$ et $P$ pour $P$ dans $\mathbb{R}_n[X]$).
4) Soit $P\in\mathbb{R}_n[X]$. Montrer que : $\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}(-1)^{n+1-k}P(X+k)=0$
(utiliser l'endomorphisme $D=T+Id_{\mathbb{R}_n[X]}$).

Exercice 2 :

Soit $u_0\in\mathbb{R}_+$ et : $\forall n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}$.
Montrer que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est bien définie et discuter la convergence de celle-ci en fonction de la valeur de $u_0$.







Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

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