On considère des variables al\'eatoires $(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ indépendantes identiquement distribuées selon une loi géométrique de paramère $p\in]0,1[$, définies sur un espace probabilisé $(\Omega,P)$.
On pose l'événement $A=\{\omega\in\Omega,\;\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^\alpha X_n(\omega)}\;\textrm{ converge }\}$, avec $\alpha$ dans $\mathbb{R}_{+}^*\setminus\{1\}$.

1) Calculer $P(A)$ pour $\alpha>1$.

On se place maintenant dans le cas $\alpha\in]0,1[$ et on pose $\beta=1-\alpha$.

2)a)Montrer que : $\forall k\in\mathbb{N}^*,\;P\left(\bigcup_{n=k}^{+\infty}(X_n>n^\beta)\right)\leq\sum_{n=k}^{+\infty}q^{n^\beta-1}$.
b) Etudier la convergence de la série de terme général $q^{n^\beta-1}$.
c) En déduire $\lim\limits_{k\to+\infty}P\left(\bigcup_{n=k}^{+\infty}(X_n>n^\beta)\right)$.
d) En déduire $P\left(\bigcap_{k=1}^{+\infty}\bigcup_{n=k}^{+\infty}(X_n>n^\beta)\right)$.

On pose l'événement  $A_\beta=\{\omega\in\Omega,\;X_n(\omega)>n^\beta \;\textrm{ est vraie pour un nombre fini d'entiers naturels $n$}\}$.

3a) Montrer que $A_\beta=\bigcup_{k=1}^{+\infty}\bigcap_{n=k}^{+\infty}(X_n\leq n^\beta)$.
b) Montrer que $P(A_\beta)=1$.
4)a)Montrer que si $\omega$ est dans $A_\beta$, alors la série $\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^\beta X_n(\omega)}$ diverge.
b) Quelle est la probabilité de l'événement $A$?

Exercice 2 :

Pour $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{K}=\mathbb{C}$, et $u$ dans $\mathbb{K}^\mathbb{N}$, on pose  $\Delta(u)=(u_{n+1}-u_n)_{n\in \mathbb{N}}$.

1) Montrer que $\Delta$ est un endomorphisme de $\mathbb{K}^\mathbb{N}$.
2) Pour tout $p$ de $\mathbb{N}$, déterminer $\ker(\Delta^p)$.
3) Pour tout $p$ de $\mathbb{N}$ et $u$ dans $\mathbb{K}^\mathbb{N}$, expliciter $\Delta^p(u)$.