Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1 :
On pose $\Delta=\{A\in\mathcal{M}_n(\mathbf{R}),\;\forall M\in\mathcal{M}_n(\mathbf{R}),\;AM=MA\}$.
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$. On pose l'endomorphisme $f_A:\left\{\begin{array}{lll}
\mathcal{M}_n(\mathbf{R})&\to&\mathcal{M}_n(\mathbf{R})\\M&\mapsto & ^t AMA\end{array}\right..$
Soient $i,j\in[\![1,n]\!]$ et on note $E_{i,j}$ la matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ dont tous les éléments sont nuls, sauf celui de la $i$-ème ligne et $j$-ème colonne qui vaut $1$.
1) Montrer que $\Delta$ est un $\mathbf{R}$-espace vectoriel.
2) On suppose que : $\forall M\in\mathcal{M}_n(\mathbf{R}),\;f_A(M)=M$.
a) Montrer que $A$ est orthogonale.
b) On suppose que $\Delta=\mathrm{vect}(I_n)$. Montrer que $A=I_n$ ou $A=-I_n$.
3) Montrer que $f_A$ est bijective si et seulement si $A$ est inversible.
4) Exprimer $E_{i,j}A$ et $AE_{i,j}$, pour tout $i,j\in[\![1,n]\!]$.
5) Vérifier que l'on a bien $\Delta=\mathrm{vect}(I_n)$.
Exercice 2:
Soit $t\in\mathbf{R}$ et on pose $f(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}\ln(1+e^{nt})$.
1) Quel est l'ensemble de définition de $f$?
2) Montrer que : $\forall x\in]-1,+\infty[,\;\ln(1+x)\leq x$.
3)Montrer que $\lim\limits_{t\to-\infty}f(t)=\ln(2)$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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