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Epreuve Orale 5819

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2019

Filière : PC

Concours : CCINP (ou CCP)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Calcul différentiel - Espaces euclidiens

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1

Soit $f$ définie par : $\forall (x,y)\in(\mathbf{R}_+^*)^2,\;f(x,y)=(x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right).$

1) Montrer que $f$ est $\mathcal{C}^1$ sur $(\mathbf{R}_+^*)^2$.
2) Déterminer l'ensemble des points critiques de $f$ et calculer $f(x,y)$ en ces points.
3) Soit $t\in\mathbf{R}$ et on pose $P(t)=\left(\sqrt{x}t+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\sqrt{y}t+\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2$,
avec $(x,y)\in(\mathbf{R}_+^*)^2$.
Montrer que $P$ est un polynôme de degré $2$.
Calculer son discriminant.
En déduire que $f(x,y)\geq4$.

Soient $(x_1,...,x_n)\in(\mathbf{R}_+^*)^n$ et on pose $g(x_1,...,x_n)=\left(\sum_{k=1}^nx_k\right)\times\left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{x_k}\right).$

4)En s'inspirant de la méthode utilisée dans la question précédente, montrer que : $g(x_1,...,x_n)\geq n^2$.
Etudier le cas d'égalité.
5) Montrer que : $g(x_1,...,x_n)=n+\sum_{1\leq i<j\leq n}\left(\frac{x_i}{x_j}+\frac{x_j}{x_i}\right).$
Montrer que $g(x_1,...,x_n)\geq n^2$, avec une autre méthode que la question 4).



Exercice 2 :

Soit $E$ un espace euclidien et $f\in\mathcal{L}(E)$ telle que : $\forall x\in E,\;(f(x)|x)=0.$
1) Montrer que : $\forall x,y\in E,\;(f(x)|y)=-(x|f(y)).$
2) Comparer $\ker(f)$ et $(\mathrm{Im}(f))^\perp.$






Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

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