Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Échangeons, communiquons ...

Epreuve Orale 5818

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2019

Filière : PC

Concours : CCINP (ou CCP)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Intérgration - Matrices nilpotentes - Séries entières

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1
Soit $f(z)=\sum_{n\geq0}a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$ et $r$ un réel tel que $|z|<r<R$. On note $\displaystyle I(r)=\int_0^{2\pi}\frac{re^{it}f(re^{it})}{re^{it}-z}dt$.

1) Montrer que $re^{it}-z$ ne s'annule pas pour tout $t$ réel.
2 )Montrer que $I(r)$ existe.
3) Montrer que $\displaystyle\sum_{n\geq0}\frac{z^ne^{-int}}{r^n}$ converge et que $\displaystyle\sum_{n\geq0}\frac{z^ne^{-int}}{r^n}=\frac{re^{it}}{re^{it}-z}$.
4)a) Montrer que $I(r)=\int_0^{2\pi}\left(\sum_{n=0}^{+\infty}u_n(t)\right)dt$, avec $u_n(t)=\sum_{k=0}^nz^ka_{n-k}r^{n-2k}e^{i(n-2k)t}$ (on pourra remarquer que $u_n=\sum_{k=0}^nv_kw_{n-k}$ avec $v_k=\frac{z^k}{r^ke^{ikt}}$ et $w_k=a_ke^{ikt}r^k$).
b) Montrer que $\sum_{n\geq0} u_n$ converge normalement sur $[0,2\pi]$.
c) Calculer $\int_0^{2\pi}u_n(t)dt$ et en déduire que $I(r)=2\pi f(z)$.

Exercice 2

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telle que $A^p=0$ et $A^{p-1}\neq 0$.
Soit $u$ l'endomorphisme canoniquement associé à $A$.

1) Montrer qu'il existe $x\in\mathbb{C}^n$ tel que $u^{p-1}(x)\ne 0$.
2) Montrer que $\mathcal{F}=(x,u(x),...,u^{p-1}(x))$ est une famille libre.
3) En déduire que $p\leq n$.





Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

Commentaires

Aucun commentaire posté pour le moment